CLIで下記を実行
aws s3 cp ./build/index.zip s3://YOUR-S3-BUCKET-HERE/index.zip aws lambda update-function-code --function-name YOUR-LAMBDA-FUNCTION-NAME --s3-bucket YOUR-S3-BUCKET-HERE --s3-key index.zip --publish
Jenkinsの場合はそのマシンにAWS CLIを入れるのと、プロファイルの設定を忘れずに。
CLIの末尾に--profile your-profile-nameを付ければ良いですね。
参考
update-function-code — AWS CLI 1.14.44 Command Reference
--s3-keyってのがわかりにくいですが、パスを指します。
(※ 厳密にはS3にはパスの概念はないのでkeyとなっています)